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12 Diciembre 2010

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN PARA EL ESTUDIO Y CÁLCULO DE VIGAS DEFORMABLES A TRAVÉS DE CARGAS PUNTUALES

 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN PARA EL ESTUDIO Y CÁLCULO DE VIGAS DEFORMABLES A TRAVÉS DE CARGAS PUNTUALES 

 Moreno Felix. ; Veloz  Williams.

Universidad Nacional Experimental De La Fuerza Armada Bolivariana

UNEFA

Resumen

En este articulo se propone la realización de estructuras mediante cargas que  flexionan un cuerpo, estas fuerzas originan una presión para lo cual existe otras magnitudes que genera una  dimensión contraria hacia la carga activa  por tal motivo ocasiona una tensión la cual produce un campo y efecto que se denomina curva elástica  la cual rige la ley del movimiento de elasticidad de una viga. A través del método de la doble integración  se darán resultados sencillos a diferencia de las ecuaciones planteadas. Tanto las ecuaciones de tensión, momento flector y flexión son  los principales causantes de la deformación de edificaciones.

Palabras claves: Momento Flector, Elástica, hooke, tensión.

 1. Introducción

El presente articulo tiene como objetivo los fundamentos de las carga que genera una estructura, su constitución, su forma mecánica, la fuerza, el enfoque, la relación con otros elementos estructurales, diseño de una viga, en fin una gran cantidad de aspectos importantes que hacen de la construcción una de  las principales rama del Ingeniero Civil, tanto  para el progreso de las personas en lo social, económico, cultural; los beneficios en la calidad  y durabilidad de las estructuras de forma que así se mantengan en buenas condiciones arquitectónicas, fundacionales, de ubicación y situación, para permanecer con esas virtudes por mucho tiempo.

 2. Deformación de viga

Las deformaciones de vigas pueden encontrarse en diferentes situaciones ya que al realizar el análisis interno de dicho cuerpo suelen dividirse en vigas hipostática  o hiperestatica. Recordemos que esta división corresponde a las condiciones de apoyo que presente el cuerpo al analizar. Por otra parte si realizamos y observamos que la viga tiene un número igual o inferior a tres incógnitas en sus reacciones, bastara con aplicar las condiciones de equilibrio estático para resolverla.

 ∑ Fx = 0          ∑ Fy = 0          ∑ M = 0

 ∑ Fx → sumatoria de fuerzas en x

∑ Fy → sumatoria de fuerza en y

 ∑ M → sumatoria de momentos

 Para vincular el análisis de las vigas hiperestaticas o estáticamente indeterminadas se dará como resultado el estudio de las deformaciones de las vigas luego de ser aplicadas distintas fuerzas generando así tensión de corte y flexión en la barra logrando deformar la viga. Sin embargo nuestros principales objetivos, uno seria el poder obtener nuevas condiciones planteadas en ecuaciones que demuestre resolver las ecuaciones en vigas hiperestaticas; por otra parte las deformaciones las deformaciones deben ser limitadas. Las armaduras de madera o acero por ejemplo pueden quedar excelentemente diseñadas por resistencia lo que vale decir, no se grietaran bajo la carga, pero podrán deformarse mas allá de lo permitido, lo que llevarían el colapso de elementos de terminación como cielos falsos o ventanales. No Obstante La deformación de una viga puede expresarse en muchas deformaciones y no por la resistencia de dicho cuerpo.

Flecha de una viga

En coordinación de la flecha desde la posición no deformada. Se puede medir desde la  superficie neutra de la viga deformada hasta la posición original de dicha superficie. La figura acoplada por la superficie neutra deformada se conoce como curva elástica de la viga

 3. Momento flector de una viga

Es la suma algebraica de momentos de las fuerzas externas a un lado de una sección cualquiera de la viga respecto a un eje que pasa por dicha sección.

 ∑M (AB)+∑M (BC)+∑M (CD)+∑(n...)

 Aplicando la teoría de la estática, la figura se encuentra empotrada a una pared, produciendo un momento de nombre PL. Se procede hallar las reacciones que ejerce la pared sobre la barra, lo que se consigue fácilmente, ya que la viga esta empotrada con un momento PL  en sentido negativo aplicando a la barra una carga p hacia arriba. Por lo tanto el momento flector en la sección x es:

M = -PL + Px

 La ecuación diferencial de la elástica es:

EId²y  = M

     dx²

 Sustituyendo el valor de M tenemos:

 EId²y  = -PL + Px               ec(a)

    dx²

 Esta ecuación se integra fácilmente, obteniendo:

 EIdy  = -PLx + Px² + c1           ec(b)

    dx                   2

 Al obtener la primera integral nos arroja la ecuación de la pendiente. Pues la viga esta perfectamente empotrada, por tanto:(dy/dx)=0, sustituyendo en ella la condición para x=0 se tiene 0=0+0+c1 ó c1=0.

 Integrando nuevamente la ecuación anterior se tiene:

 EIy  = -PLx² + Px³ + c2               ec(c)

                2        6

 Se puede denotar que c2 es una segunda constante de integración. Aplicando la misma definición de la primera integral obtenemos que c2=0 ya que esta empotrado al muro,  reemplazando en la ecuación se tiene que (y)x=0 vemos que 0=0+0+c2  ó c2=0.

 Así pues las ecuaciones b y c con c1=c2=0 dan la pendiente (dy/dx) en un punto cualquiera x de la viga. El sentido es máximo en el extremo derecho x=L, bajo la carga P, donde la ecuación c que se halla es:

 EI(y)max= - PL³

                        3

 En la que el signo negativo indica que este punto esta, en la curva deformada por debajo de la superficie. Si se desea calcular la magnitud de la flecha máxima en x=L, se suele representar por ∆:

 ∆max=  PL³

              3EI

 4. Criterio de los Signos

Se conservaran los criterios de signos de los momentos flectores adoptados. Los valores E e I que aparecen en la ecuación anterior son indudablemente positivas, por lo que si M se expresara en sentido positivo para un cierto valor de X, (d²y/d²x) será positivo. Con este criterio de signos de los momentos flectores es necesario considerar la coordenada X positiva hacia la derecha a lo largo de la viga. Una vez aplicada estas reglas de signos algebraicos puede integrarse la ecuación. Se puede decir que las deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones de la sección de la viga, admitiendo que la viga es recta antes de la aplicación de las cargas.

 5. Ley de Hooke

Esta ley propuesta por Hooke nos permite crear una relación entre la tensión y la deformación unitaria como una constante, la  cual se denota con el nombre de modulo de elasticidad.

 E= τ

       ε

 E→Elasticidad (Kg/cm²)

τ→Tension (Kg/cm²)

ε→Deformacion Unitaria

 Otra manera de calcular la tensión aplicada a la viga seria:

 τ =MV

         I

 τ→Tension (Kg/cm²)

M→Momento Flector (Kg.cm)

V→Distancia desde la fribra neutra a la fibra más traccionada o comprimida (cm)

I→Inercia (cm4)

 6. Método de la doble integración para el cálculo de la elástica o viga deformable

      EId²y  = M

         dx²

 E: modulo de elasticidad del material

I: modulo de inercia de la sección respecto al eje neutro

M: momento de la viga

 Es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto EI, que se llama rigidez a la flexión es totalmente constante a lo largo de viga.

Teniendo en cuenta que dy/dx es muy pequeña, su cuadrado es despreciable frente a la unidad, por lo que se puede denotar despejando EI de la formula inicial obtenemos:

d²y = M

dx²    EI

 Integramos la ecuación aplicando la atribución que EI es constante nos da:

 EI dy = ∫ M dx + c1

    dx    

  De allí obtendremos la ecuación de la pendiente  y que permite determinar la ecuación de la misma, M no es un valor del momento, sino la ecuación del momento flexión de x,y c1 es una constante a determinar por las condiciones de apoyo. Integrando de nuevo la ecuación obtendremos

 EIy = ∫ ∫ M dx dx + c1x + c2

 Es otra constante de integración a determinar también por las condiciones de sucesión de la viga. Si las condiciones de carga varían a lo largo de la vida, la ecuación de momentos también tendrá la variación correspondiente.

Esto permite una ecuación de momentos entre cada dos puntos sucesivos de discontinuidad de cargas (cargas aisladas, comienzo o terminación, o cambio de forma en las cargas repartidas), lo que daría lugar a dos integraciones para cada tramo y, por consiguiente, dos constantes para cada tramo también. La  determinación de esas constantes se hace muy laboriosa y se esta expuesto a errores. Afortunadamente, estas complicaciones pueden evitarse escribiendo una única ecuación de momentos valida para toda la viga, pese a las discontinuidades de carga.

 7. Curva elástica

La curva elástica o elástica es la deformada por flexión del eje longitudinal de una viga recta, causada por la aplicación de cargas transversales en el plano x,y sobre la viga.

 8. Conclusiones

Ha quedado demostrado a través de métodos numéricos la existencia de soluciones  sin resultados exactos. Por medio del método de la doble integración se pudo demostrar que al integrar la ecuación de la elástica nos dará como resultado la pendiente de dicha ecuación, evitando crear datos no existentes que generen el error. Por otra parte las cargas o fuerzas puntuales aplicadas en una viga creara tensiones provocando flexión en la viga por el cual tomando valores en la sumatoria de momentos lo que es igual hablar del momento flector del cuerpo se obtendrá el valor de la tensión  apoyada en el cuerpo. Los sistemas de cargas distribuidas bien sea cargas activas, externas y momentos existentes en las vigas serán los determinantes de la ecuación de la elástica.

 9. Recomendaciones

1. Manejar el método de las integrales básicas en apoyo a la investigación planteada.

2. Conocer los sistemas de fuerzas para alcanzar el equilibrio estático.

3. Manejar las definiciones planteadas para obtener mayor compresión de la investigación.

4. Leer e interpretar las ecuaciones de manera que conlleven al resultado requerido.

5. determinar paso por  paso cada valor de las ecuaciones (momento, elástica).

 

10. Bibliografía

1. Arqto. Verónica Veas B.

Arqto. Ping Chang Lou.

Deformaciones en Vigas

Julio/2000

 2. William A. Nash

Teoria y Problema de Resistencia de Materiales

 (1977)

 3. Flyop

Resistencia de Materiales

  

 

 

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